허수는 왜 존재하는 것일까?

출처 : https://angeloyeo.github.io/2019/06/15/imaginary_number.html#fn:myfootnote

허수의 존재 의미에 대하여 - 공돌이의 수학정리노트

 

실수의 차원을 벗어난 수. 허수는 회전이다.

 

 

허수는 다음과 같은 질문에 답하기 위해서 만들어진 수의 개념일 것이다. . x^2 = -9 인 x가 존재할까? 이 질문은 매우 바보 같아 보일 수도 있다. 충분히 바보 같은 질문이다. 이 문제에 대한 해답은 x^2 = -1 인 x가 존재 한다고 수의 개념을 확장시키면 찾을 수 있을 것이다. 그럼 소위 라고 불리는 imaginary number가 지금까지 얘기했던 수 체계가 1차원 벡터로 확장되었다는 것과는 어떤 관계가 있는 것일까?

 

허수의 발견은 지금까지 실수 영역에서 1차원 벡터로 표현 될 수 있었던 수 체계를 2차원 벡터로 확장시켰다는 놀라운 의미를 갖는다. 왜 그런지 곱셈 연산이 방향성을 가지는 연산이라는 사실을 바탕으로 생각해보자. 허수의 개념을 정확하게 이해하려면 제곱이 갖는 의미에 대해서 다시 한 번 생각해보아야 할 것이다. 제곱이란 무엇인가? 같은 수를 두 번 곱해준다는 의미이다. 즉, x^2 는 1*x*x 의 의미를 갖는다. 그러니까, 3^2 는 다음과 같은 의미를 갖는다. 1*3*3. 즉, 1이라는 원래의 수를 양의 방향으로 3배 만큼 커지게 하고, 또 양의 방향으로 3배 만큼 커지게 한다는 의미이다.

 

이번엔 음수의 제곱을 생각해보자. (−3)^2은 어떤가? 이것은 1*(−1)*3*(−1)*3 의 의미를 갖게 될 것이다. 이것은 1이라는 숫자를 음의 방향에서 3배 만큼 커지게 하고, 다시 한 번 그 반대 방향에서 3배 만큼 커지게 할 것이라는 의미를 갖는다. 이것은 이제 역으로 생각해서 x^2 = 9 일 때, x = 3 또는 x = −3 이라는 사실을 생각해 낼 수 있게 되는 것이다. 그러니까 1*3*3 을 생각해 볼 때 이 수식은 ‘1을 양의 방향으로 3배 커지게 하고, 또 한 번 더 양의 방향으로 3배 커지게 했을 때 9가 될 수 있다.’ 라고 해답을 찾을 수도 있고, 또는 ‘1을 음의 방향에서 3배 커지게 하고, 한 번 더 음의 방향에서 3배 커지게 하면 9가 될 수 있다’는 의미를 갖고 있다.

 

그렇기 때문에 음의 방향이라는 것은 상대적으로 반대방향을 의미하는 것이라는 것도 알 수 있다. 이제 다시 한 번 x^2 = −9 가 갖는 의미에 대해서 생각해보자. x^2 = −9 라는 말은 1*x*x = −9 이므로 같은 수를 이용해 두 번 곱셈 연산이라는 변환을 취해줬을 때 –9가 나올 수 있어야 한다. 이제 우리는 실수 x 를 가지고는 이 방정식을 풀 수 없다는 사실을 알 수 있다. 왜냐면, 양수를 두 번 곱하면 양수가 되고, 음수를 두 번 곱하면 다시 양수가 되기 때문이다. 그래서 허수는 ‘회전’이라는 개념을 도입한 수가 되는 것이다. 수의 회전이라고 하면 언뜻 듣기엔 말이 되지 않는 것 같지만 아래의 그림을 살펴보자.

 

 

 

 

 

 

실수라는 축에 국한 되어 있지 않고 수 체계의 추가적인 차원의 축이 있다고 한다면, 방향성을 가지는 1차원의 벡터가 +90도 회전하고, 한번 더 +90도 회전한다면, 그 결과는 –1이 될 수 있는 것이다. 그러니까 곱셈 연산이 방향성을 가질 수 있다고 한 것이 1차원 선상의 앞, 뒤 만 의미할 필요는 없지 않느냐는 것이다. 즉, 실수까지의 수 체계를 하나의 축 위에 표현할 수 있는 것처럼, 허수라는 수는 실수 차원의 축과 직교하는 새로운 하나의 축을 담당할 수 있는 것이다.

 

그렇기 때문에 새로운 차원의 수인 허수의 개념의 발견은 수가 1차원이 아니라는 사실을 알 수 있게 한다. 즉, 허수 i 가 imaginary dimension으로의 90도 CCW 회전을 의미한다면 1차원인 실수 영역에서 보았을 때는 i^2 = −1 인 것이다. 1차원에서만 생각한다면 매우 기이한 현상처럼 보일 것이다. 3차원에 사는 우리가 4차원에서 일어나는 세계를 이해할 수 없는 것처럼 말이다.